Bất đẳng thức Côsi (Cơ bản)

Chuyên mục 'Diễn đàn Toán học' bởi bantot, 5 Tháng tám 2012.

  1. MỘT SỐ BÀI TOÁN CHỨNG MINH BẤT ĐẲNG THỨC (CƠ BẢN)CÓ THỂ SỬ DỤNG BẤT ĐẲNG THỨC CÔSI
    CÁCH SỬ DỤNG BĐT CÔSI

    Nhắc lại:

    * BĐT Côsi áp dụng cho hai số không âm [​IMG]:
    [​IMG] (1)
    - Cách viết tương đương: [​IMG]. (2)
    Dấu [​IMG] xẩy ra khi và chỉ khi [​IMG].
    * Chú ý: Với hai số thực tùy ý [​IMG], ta có:
    - [​IMG] (Vì [​IMG].

    * Một số kết quả thường dùng:

    [​IMG].

    Thật vậy, vì [​IMG] nên [​IMG]. Áp dụng BĐT (2) cho hai số này ta được:
    [​IMG].

    [​IMG].

    Thật vậy, vì [​IMG] nên [​IMG]. Áp dụng BĐT (2) cho hai số này ta được:
    [​IMG].

    ————————————

    MỘT SỐ BÀI TẬP
    Bài 1: Bài toán thuận.
    Chứng minh rằng với mọi [​IMG] ta có: [​IMG].
    Dấu đẳng thức (dấu bằng) xảy ra khi nào ?

    Hướng dẫn:
    Trong bài toán này có chứa hai số hạng dạng nghịc đảo. Vì đã có số hạng [​IMG] nên phần còn lại phải biểu diễn thành thừa số của [​IMG]. Vậy ta phải viết lại vế trái như sau:
    [​IMG] (*)
    [​IMG] nên [​IMG].
    Áp dụng bất đẳng thức Côsi (2) cho 2 số dương [​IMG], ta có:
    [​IMG]
    Hay [​IMG]. (**)
    Kết hợp với (*), suy ra:
    [​IMG].
    Vậy [​IMG] (đpcm)
    Theo (**), dấu đẳng thức xảy ra [​IMG]
    [​IMG]
    [​IMG] (do [​IMG])
    [​IMG].
    ——-

    Bài 2: Bài toán ngược của dạng Bài toán 1.
    Chứng minh rằng [​IMG]

    Hướng dẫn:
    Khác với bài 1, vế trái bài này có dạng tích, nên ta cần chú ý một dạng tương đường của BĐT (1) là [​IMG]. (3)
    Quay lại bài tập này, với mọi [​IMG] thì [​IMG]. Vậy áp dụng BĐT (3) cho hai số không âm này ta có:
    [​IMG]
    [​IMG]. (đpcm)
    Dấu “=” xảy ra [​IMG].

    ——————
    BÀI TẬP TỰ GIẢI.
    Chứng minh rằng:
    1. [​IMG].
    2. [​IMG]
    3. Với mọi góc [​IMG], ta có: [​IMG].
    4. [​IMG].
    5. [​IMG].



     
  2. songanh

    songanh Thành viên

    cảm ơn bạn, BĐT này rất hay nhưng giới hạn là a, b>0
     
  3. kendyhoangvn

    kendyhoangvn Thành viên

    Cái này có một bài thơ gì dễ nhớ lắm nè! có ai nhớ ko?/?